策略-怎么办?

如果说回答“是什么”近似于定性,那么回答”怎么办”则近似于定量。

所谓定量,并非简单地数值化,而是一个可以不断进行的基于实例的抽象过程。这个过程我们大体已做到的四个阶段如下:

  1. 计数与几何
  2. 运算与变换
  3. 函数与代数
  4. 空间与形式

计数与几何

数量与形状,是我们对外认知,或者说外学的最基础的两个感知通道。计数,就是要做到在任何情境下,都能达到数值实现;几何,则是在中文原初意义上描述事物的形状。

知多少,于人类的意义是显然的,比方说,需要比较多少,需要分配,对应,是人类在时空之中的基本行为模式,计数就是在反映这个行为,并把这个行为能力应用到各种生存场景。

知形状,于人类的意义同样显然,是人类获得空间延展的必然需求,也是我们在各种生存场景里的基础需求。

计数

计数最原始的情境,是基于一一对应的命名法。如果把这种命名法视作语言的一阶抽象,显然,我们很快就面临这个方法不足用的情境:我们的视觉分辨与视觉记忆能力的上限很快到来,十个左右以内,我们或许可以做到清晰分辨,太多就超出我们的生理能力了。

一一对应的实质是“+1”以得遍历,也就是用加法产生全部计数名称(或称为数学归纳法),其上述局限说明了我们需要进一步引入第二阶的抽象:乘法,以解决我们的生理局限问题。

因此有

定理1.1:

任何一个数a,都可以b个为1个单位来计数,最后只剩余。其中

也就是说,对于任意自然数a,总是可以表示为:

而一旦大于b,则总是可以有:

然后有:

如此,一直到为止。

由此定理,得到了自然数的进位表示法,即把a的b进制形式记录为:

因此,籍由乘法以及乘方,在一定范围内给出了一个初级计数的解决方案。

 

为了讨论更为复杂的计数,我们有必要回头整理一下我们所使用的语言,或者说,我们讨论所谓数学问题时所使用的表达方式。

 

所谓数学,最基本的行为乃是抽象。那么,何谓抽象?

抽象就是针对某些具体事例,给出一个有限描述,这个行为最明确的表达方式就是这么两个词汇,及其相互关系:

元素,集合。某些元素组成,或属于某个集合。

其中,元素就是事例,其所属的集合就是其有限描述。

用符号来重写,就是:

对于任意元素a,任意集合A,我们总有,或者

然后,我们需要能够判定,对于任意元素a和b,究竟是a=b,还是;对于任意集合A,B,存在同样问题。

元素的异同,取决于元素的内涵定义,这里不需要予以考虑,可以理解为是直接明晰的。

集合的异同,同样取决于集合的内涵定义,显然,正是集合所属的元素定义了它的内涵,因此,我们把这个含义表述为:

对于集合A,B以及任意元素a,如果,就有;反之也成立,则A=B。

有限描述最平庸的方式,就是有限枚举。此外的方式,才是更有意义的。以此,我们从元素而抽象出集合的范畴。

 

2,加法与乘法的数值实现

2.1,代数和与模

 

2.2,因素分解,除法,分数

 

2.3,乘方与开方

数的实现,最早是计数以及运算,然后进一步抽象出函数的概念,使得数的实现体现了普遍的因果律。

清晰的因果律,首先要求的明确与清晰,也就是定义域作为一个集合的清晰。

2.3,多项式

 

2.4,方程

方程是通过计算来实现数值的一种常见方式,即通过因果关系的表述(列方程)来获得数值的实现。

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