策略-怎么办?

如果说回答“是什么”近似于定性,那么回答”怎么办”则近似于定量。

所谓定量,并非简单地数值化,而是一个可以不断进行的基于实例的抽象过程。这个过程我们大体已做到的四个阶段如下:

  1. 计数与几何
  2. 运算与变换
  3. 函数与代数
  4. 空间与形式

计数与几何

数量与形状,是我们对外认知,或者说外学的最基础的两个感知通道。计数,就是要做到在任何情境下,都能达到数值实现;几何,则是在中文原初意义上描述事物的形状。

计数最原始的情境,是基于一一对应的命名法。如果把这种命名法视作语言的一阶抽象,显然,我们很快就面临这个方法不足用的情境:我们的视觉分辨与视觉记忆能力的上限很快到来,十个左右以内,我们或许可以做到清晰分辨,太多就超出我们的生理能力了。

一一对应的实质是“+1”以得遍历,也就是用加法产生全部计数名称(或称为数学归纳法),其上述局限说明了我们需要进一步引入第二阶的抽象:乘法,以解决我们的生理局限问题。

因此有

定理1.1:

任何一个数a,都可以b个为1个单位来计数,最后只剩余。其中

也就是说,对于任意自然数a,总是可以表示为:

而一旦大于b,则总是可以有:

然后有:

如此,一直到为止。

由此定理,得到了自然数的进位表示法,即把a的b进制形式记录为:

因此,籍由乘法以及乘方,在一定范围内给出了一个初级计数的解决方案。

 

为了讨论更为复杂的计数,我们有必要回头整理一下我们所使用的语言,或者说,我们讨论所谓数学问题时所使用的表达方式。

 

所谓数学,最基本的行为乃是抽象。那么,何谓抽象?

抽象就是针对某些具体事例,给出一个有限描述,这个行为最明确的表达方式就是这么两个词汇,及其相互关系:

元素,集合。某些元素组成,或属于某个集合。

其中,元素就是事例,其所属的集合就是其有限描述。

用符号来重写,就是:

对于任意元素a,任意集合A,我们总有,或者

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